章天亮:芝诺悖论与时空不连续性猜想

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno)提出的一系列哲学悖论,因为被记录在亚里斯多德的《物理学》一书而广为人知,其中最著名的是“阿喀琉斯追乌龟”悖论。

假设乌龟在阿喀琉斯前面100m,每秒钟速度为1m/s,阿喀琉斯的速度为10m/s,则阿喀琉斯永远也追不上乌龟。芝诺的理由是这样的,当阿喀琉斯前进了100米的时候,乌龟又向前爬了10米;当阿喀琉斯向前进了10米的时候,乌龟又向前爬了1米。换句话说,每当阿喀琉斯到达乌龟刚才的位置时,乌龟总是又向前移动了一段距离。结论则是阿喀琉斯永远也追不上乌龟。

这个推理过程看似有理,但与我们的日常生活经验却完全相悖,因为速度快的终究要追上速度慢的。那么芝诺悖论的问题出在哪里?

一、时空不连续性猜想 

这个问题,我们也可以换一种方法来思考。我们首先必须明确两个状态——“追上”和“没追上”。从生活经验出发,阿喀琉斯跟乌龟的关系必然经历两个状态“没追上”和“追上”,而我们必须强调的是,没有介于“没追上”和“追上”之间的状态。我们不禁要想,从“没追上”到“追上”,显然是个状态突变的过程,假设第一个“追上”状态发生的时刻为t,最后一个“没追上”状态发生的时刻为t’,在(t-t’)这段时间里,乌龟为什么没有往前移动?

在思考这个问题的时候,我意识到时空是不连续的。也就是时间并非无限可分,根本就没有(t-t’)这么小的时间片。

如果用数字化的方式来描述追逐问题,也许我们就豁然开朗。我们把空间分成一个个的小格子,时间也分成一个个最小的单位,这里不妨用秒来描述。阿喀琉斯每秒可以移动10个格子,而乌龟每秒移动1个格子。没有比格子更小的空间距离,也没有比秒更小的时间片断。假设乌龟在时刻t0时位于阿喀琉斯前面100格,那么(t0+10)秒后,阿喀琉斯与乌龟的位置只相差10格。而在(t0+11)秒时,阿喀琉斯与乌龟的距离还差一格,而(t0+12)秒后,阿喀琉斯则在乌龟前面8格。这里没有“追上”的状态,只有“没追上”(发生于(t0+11)秒)和“超过”(发生于(t0+12)秒),因为我们这里假设没有比1秒更小的时间单位。

这个假设还说明一个问题,就是对阿喀琉斯来说,每秒移动10格,绝不等于每十分之一秒移动一格,因为这里假定没有比一秒更小的时间片。

这种推导还可以得出另一个结论,空间也不是连续的。从“没追上”(二者有空间距离)到“追上”(二者无空间距离),也是一个跳变的过程。这个跳变,就是空间的最小单位。假设乌龟的移动速度是v,在(t-t’)这段时间里,乌龟之所以没有往前移动,使因为没有v*(t-t’)这么小的空间距离。

二、不连续的世界 

时空的不连续会得出一系列的相应结论。因为速度等于距离除以时间,如果距离是不连续的,时间也是不连续的,那么速度也是不连续的。

因为空间不连续,所以物体只能处于有限的位置(虽然这个有限可能是一个巨大的数);因为时间不连续,所以物体只能存在于有限的时刻(虽然有限的数目同样巨大),因此物体的时空状态也是有限的,或者说可数的(Countable)。因此物体的运动,本质上是时间状态和空间状态的改变。 因此我们需要重新定义速度,它不再是物体运动的快慢,而是物体时空状态改变的快慢。 

物体在改变时空状态时需要消耗能量,这或许可成为重新看待质量和摩擦力本质的一个角度。
我在大学学离散数学的时候,曾经碰到一个问题,总感觉结论有什么地方不对。大概是说,位于[0, 1]区间的实数,与位于[0, 2]区间的实数一样多。当然,从现代数学的角度看[0, 1]之间有无穷多的实数,[0, 2]之间也有无穷多的实数,本不可比较。离散数学的解释是在[0, 2]间任意寻找一个数R,都可以在[0, 1]之间找到一个数R/2。换句话说,[0,2]间的任何数,都可以一一映射到[0,1]区间。由于这种映射是“一一映射”,因此位于[0, 1]区间的实数,与位于[0, 2]区间的实数一样多.

这个结论有悖于我们的常识,因为 [0,1]是[0,2]的子集,子集元素的数量等于全集元素的数量,这实在是令人费解的。

如果从时空不连续猜想出发,我们就会得出结论,这里的“一一映射”并不存在,因为当小数点后的数字多到一定程度后,在[0,1]区间已经找不到相应的空间位置。

深思一步,并不存在什么无理数,因为无限不循环小数到了小数点后的一定位数后,已经没有了对应的时间或者空间点。

这样的推理还可以一直进行下去。因为速度不连续,时间不连续,那么加速度(速度的变化)也不连续。根据牛顿第二定律,力也是不连续的。根据W=F*S(做功等于力乘以位移),功也是不连续的。其它如动能、动量、势能等都不连续。

三、宏观世界、微观世界与量子力学 

时空的不连续性在宏观世界并不突出,因为时空的最小单位如此之小,我们可以近似的认为时空是连续的。但是到了微观世界,这种不连续性就非常突出。

比如,电子围绕原子核运转时只能占据固定的轨道,没有轨道之间的状态。一个电子或者在这个轨道上,或者在那个轨道上,当电子从一个轨道跃迁到另一个轨道时,没有中间状态,也不需要时间。这是量子力学的基本概念。这种电子的轨道跃迁会辐射或者吸收固定的能量,因为这种能量是固定的,因此反应出来的一种形式就是固定频率的光,这也是人类发现和现在能广泛利用激光的物理原因。

四、时空真的不连续吗? 

时空不连续的概念,本质上是说,时空存在一定的微观边界。

我们用破解芝诺悖论的数字化方法继续讨论这个问题。如果阿喀琉斯每秒可以移动10个格子,而乌龟每秒移动1个格子,那么阿喀琉斯只能位于零号格子、十号格子、二十号格子等,他没有一号格子、二号格子的概念,也不能存在于一号、二号这样的格子中。而乌龟则可以位于一号格子、二号格子、三号格子等,既乌龟可以存在于阿喀琉斯不能存在的位置。

我们甚至可以说,阿喀琉斯在(t0+12)的时候,看不到乌龟,因为对他来说,乌龟所在的格子是不存在的。

数字化的方法只是一个比方,但却引发了另一个问题。时空的微观边界,对于人类不可突破,而对于更高级的生命呢?我们看不到神的存在,是因为我们的微观尺度,比神的要大的多。神能够掌握比我们更微观的时空,因此存在于我们看不到的地方。

穿墙而过,对人来说,似乎是一个了不得的神通。其实只要突破了人的时空边界,那就象我们从门里走出去一样容易。对于时空能掌握到越微观的生命,神通也就越大。

还有一个问题,如果我们人的身体或者这个我们看到的世界中的物体,都是由某种基本粒子组成,而这些粒子只能位于不连续的时空中,为什么这些粒子没有散掉?是什么使他们能互相连带,成为一个整体?

我在李洪志师父的讲法中似乎能体悟到答案。

以上内容仅为个人的猜想和在法轮大法修炼中的体会。不当之处,敬请指正。

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